Le jeu de la vie en gros

Vous connaissez le jeu de la vie de Conway ?

C'est un automate cellulaire, autrement dit une grille qui suit des règles simples et qui évolue au cours du temps en suivant ces règles.
Celui de Conway est connue pour suivre des règles très simple et produire pourtant des figures complexe que l'on pourrait comparer à de la vie, d'où son nom : le jeu de la vie.
C'est l'exemple parfait pour parler de l'émergence.

Néanmoins, ce n'est pas d'émergence dont je vais parler.
Au contraire, je vais tenter de prédire l'évolution d'un grand nombre de cellules en faisant quelques calculs de probabilités .





Mais pour commencer, voyons les règles du jeu de la vie :

Les cellules sont soit vivantes, soit mortes.
Une cellule morte possédant exactement trois voisines vivantes devient vivante à l'étape suivante (elle naît).
Une cellule vivante possédant deux ou trois voisines vivantes le reste.
Dans les autres cas, la cellule meurt.

Mettons les mains dans le cambouis mathématiques.
Imaginons que nous partons d'une grille (très grande) du jeu de la vie qui soit 'bouclée sur elle-même' (comme le monde de pac-man).
On va la remplir au hasard de telle façon que chaque cellule ait une probabilité P d'être vivante.

Remarquons que cette probabilité est sans doute proche de la proportion de cellules vivantes dans la grille que l'on obtient.

On va s'intéresser à la chance qu'a une cellule prise au hasard d'être vivante à l'étape suivante. On va appeler cette probabilité A.

Les règles du jeu nous donnent les conditions pour qu'elle le soit :
_ soit elle est morte et a trois voisines vivantes.
_ soit elle est vivante et a deux ou trois voisines vivante.
De plus en probabilité on traduit le 'ET' par un fois et le 'OU' par un plus.

On peut traduire alors nos règles en équation :
A= (morte)*(trois voisines vivantes) + (vivante)*((deux voisines vivantes) + (trois voisines vivantes))

On sait que la chance qu'elle soit vivante est de P, donc celle qu'elle soit morte est de 1-P.

A= (1-P)*(trois voisines vivantes) + P*((deux voisines vivantes) + (trois voisines vivantes))

Reste à trouver la probabilité d'avoir trois voisines vivante et celle d'avoir deux voisines vivantes.

Sans rentrer dans les détails mathématiques, voici la probabilité d'avoir 2 voisines vivantes :
(2 parmis 8 ) * P^2 * (1-P)^6 = 28 * P^2 * (1-P)^6

De même pour 3 voisines vivantes :
(3 parmis 8 ) * P^3 * (1-P)^5 = 56 * P^3 * (1-P)^5

Donc :

A= (1-P)*56 * P^3 * (1-P)^5 + P*(28 * P^2 * (1-P)^6 + 56 * P^3 * (1-P)^5)
C'est un poil compliqué, heureusement le site dcode est là et nous permet de simplifier notre équation :

A = 28 * (P−3) * (P−1)^5 * P^3

Donc pour conclure cette première partie, si on a une grande grille où chaque cellule a P chance d'être en vie, alors à l'étape suivante elle a A chance 'être en vie, avec A = 28 * (P−3) * (P−1)^5 * P^3.
On peut même aller jusqu'à supposer que la proportion de cellules en vie sera de A.

Prenons un exemple concret, si P = 0.5.
Donc on remplit notre grille et chaque cellule a une chance sur deux d'être en vie.
On fait le calcul et on obtient A = 0.2734...
Cela veut dire que l'on aura sans doute 27% de cellules en vie à l'étape suivante.

C'est cool mais je me trompe peut-être monumentalement, du coups on va tester notre hypothèse ^^

Pour tester tout ça je vais utiliser le logiciel Golly qui est le logiciel utilisé par les chercheurs, qui est ultra rapide, en plus d'être gratuit, libre et disponible sur tout les OS.
Que demander de plus ?


Petit tuto rapide si vous voulez le faire par vous-même :

_ Une fois le logiciel lancé, faites 'File' puis 'New pattern'.
_ Puis dans 'Control' tout en bas cliquez sur 'Set Rule'.
_Saisissez alors la règle suivante : B3/S23:T1000,1000

détails:

_Une fois cela fait utilisez l'outil de sélection et sélectionnez tout votre 'univers'(CRTL+A) puis faites CTRL+5.

détails:

_Appuyez une fois sur Espace.


Comme j'ai un ordi plutôt badass, j'ai créé un monde de 10.000 par 10.000, donc 100 millions de cases.

détails:

Après remplissage aléatoire, 50.052.306 cellules vivantes.
Après itération : 27.284.295 cellules vivantes !!
On est bien proche des 27% attendus ^^

J'ai réussi à prédire le nombre de cellules de façon assez précise ^^.
Je trouve ça plutôt badass !
Bon, vous m'avez peut-être vu venir de loin avec mes gros sabots, mais peut-être que l'on peut prédire à nouveau le nombre de cellules vivantes à l'étape suivante ?
On a actuellement 27,284295% de cellules vivante, on peut supposé que P = 0,27284295.

Au fond, c'est faux. Car on avait supposé une répartition aléatoire des cellules, et là elles ont évoluées en suivant des règles précises et on a sans doute pas une telle distribution.
Mais c'est trop tentant alors je vais essayer ^^.
Si P = 27,284295% alors A = 31,53...%

Je lance la simulation sur Golly et résultat : 25.290.011 cellules vivantes.
Perdu !
C'est dommage.
Si vous avez des idées ou des choses à partager sur ce sujet n'hésitez pas ^^.