Topology.

Réponse à Bacrima.

1) La réponse est juste, mais l'exemple est faux.

Voici pour les allergiques la tête de l'ensemble tel que l'a sans doute visualisé Bacrima :

Ledit ensemble contient la partie bleue ET la partie jaune.

OR :

Ledit ensemble n'est pas un fermé, puisqu'il ne contient pas sa frontière mais uniquement la moitié de sa frontière. (sa frontière étant, ici, le cercle unité, ou cercle de rayon 1)

En revanche, si cet ensemble n'est pas un fermé, je dois t'avouer que cet ensemble n'est pas non plus un ouvert.
En effet, un ouvert n'est censé contenir AUCUN élément de sa frontière, et au temps pour moi si je ne l'ai pas précisé en des termes aussi clairs, cela montre les limites de ma tentative de vulgarisation.

En conclusion, tu as donné un exemple d'ensemble qui n'est NI un fermé NI un ouvert, ce qui répond bien à la question en contredisant le fait qu'un ensemble soit SOIT fermé SOIT ouvert.





Seulement, ta question a le mérite de donner l'exemple que tu souhaitais.

On arrive à un point fondamental qui est que l'ENSEMBLE DE TOUS LES POINTS DU PLAN EST A LA FOIS UN OUVERT ET UN FERME.
Par contre, pour vous démontrer/vulgariser ça, c'est une peu compliqué. (ma version avec des frontières atteint quelques limites à l'infini)

l'idée se base sur une forme de démonstration assez étrange, qui dit qu'une proposition fausse (ex : 0=1, mettons) implique tout et n'importe quoi.
à partir de là, on peut démontrer que l'ensemble vide est un ouvert ET un fermé. (démonstration plus tard)


* Mais QU'EST-CE QUE l'ensemble vide ??

Généralement, on le note comme cela : ∅ (alt+0216 pour ceux qui veulent faire joujou avec)
Par définition, l'ensemble vide est le COMPLEMENTAIRE de tous les points du plan.
Mais si, rappelez-vous, je l'ai défini dans le post précédent !
l'ensemble vide est l'ensemble qui contient TOUT sauf TOUS les points du plan.
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient... RIEN.

J'aurais envie de vous le dessiner comme cela :

NB :

Bref, admettons que Ø est à la fois un ouvert et un fermé.
Pour démontrer la proposition selon laquelle L'espace tout entier, donc l'ensemble de tous les points du plan est un ouvert et un fermé, il me faut utiliser la propriété qui va suivre, c'est à dire la réponse à la question 2.


2) En effet, tu as raison.
La réponse est OUI. Le complémentaire d'un ouvert est un fermé, et vice versa.
Preuve :
Supposons que l'ensemble que l'on notera K (comme Klev) est un fermé (désolé, Klev, c'était tentant puisque K symbolise souvent des objets mathématiques appelé compacts qui sont des fermés)
Alors la frontière de K, que je noterai Fr(K) appartient à K.
OR le complémentaire de K contient de par sa définition tous les points du plan SAUF ceux de K. Or dans ceux de K il y a tous les éléments de sa frontière. (la frontière de K et de son complémentaire sont la même). Donc le complémentaire de K ne contient aucun élément de sa frontière, donc le complémentaire de K est un ouvert.
De même dans l'autre cas.

C'est un peu lourd dit comme ça, mais avec un petit dessin, je pense que ça peut passer.


à partir de là, Si l'ensemble vide Ø est à la fois un ouvert et un fermé, on a démontré que l'ensemble de tous les points du plan est un Fermé et un Ouvert.
Voili voilou, Bacrima.

J'espère avoir perdu personne, là ?
Si oui, demandez. Je tiens à améliorer mon explication.

3)
Enfin, la question 3, je la laisse en suspend pour l'instant, car elle est un peu longue à mettre en dessin.
Mais je reviendrai sur elle car elle est fondamentale.




Bref. Je tiens à insister. Pour répondre à ta question, Bac, j'ai du vous faire admettre que l'ensemble vide était à la fois un ouvert et un fermé. Ce qui ne tombe pas du ciel et n'est pas facile à mettre en dessin, voire carrément impossible. Si quelqu'un y arrive, qu'il m'appelle, je suis preneur.
Je reviendrai sur ce point lorsque je vous aurai donné la VRAIE définition d'un ouvert et d'un fermé.
Car oui, depuis le début, je vous cache la vérité.
Je vous ai donné l'IDEE de ce que sont les fermés et les ouverts mais pas leur définition.

Par analogie, c'est comme si je vous avais donné une photo d'un pommier en fleur pour vous dire ce qu'est un pommier.
ça peut vous donner une bonne idée, mais ça ne vous permettra pas de dire si un pépin de pomme est un pommier ou non, ou même si une pousse d'à peine deux ans est un pommier.

Mais, patience, ça va venir. En douceur.