Projection stéréographique.

Bonsoir les gens !

Depuis que j'ai vu Dimensions, au lycée il y a de cela quelques années, j'ai eu envie de reproduire ces magnifiques figures géométriques.

Alors j'ai tenté de le faire, sur calculette ...
Et j'ai réussi ... à afficher des figures simplistes en 3D. (Mais j'en étais fière.)

Aujourd'hui, je passe à l'étape suivante, avec un outil bien plus performant.
Aujourd'hui, je passe à la 4D, sur ordinateur.

Mais mes compétences mathématiques ne sont plus ce qu'elles étaient.
En résumé : J'ai besoin de votre aide.


1. On pose les bases :

On se place dans un espace euclidien à 4 dimensions, avec pour origine (O, i, j, k, t).
On modélise ce monde par une liste d'objets : hypersphères, hypercubes, simplexes, etc ...

Soit J les coordonnées du personnage/joueur/le point de vu.
J ( Xj, Yj, Zj, Tj ).

Pour afficher ce monde 4D en 3D, on utilise la projection stéréographique, vue dans le documentaire mentionné plus haut.

La sphère de projection sera la sphère de centre C et de rayon 1.
Avec C ( Xj, Yj, Zj, Tj + 1 ).
(Je ne suis pas sûr de cette décision, aussi serais-je heureux d'en parler avec vous.)

Elle projettera les objets sur l'hyperplan P tangent à la sphère en J.
On projette depuis le sommet S ( Xj, Yj, Zj, Tj + 2 ) de la sphère.

C'est l'hyperplan P qui sera affiché à l'écran.


2. Raisonnement simpliste pour le calcul de l'image d'un point.

Soit un point quelconque M ( Xm, Ym, Zm, Tm ).

2.1. Projection sur l'hypersphère :

M' est l'image de M par projection sur l'hypersphère de centre C et de rayon 1.
M' : CM' = CM / |CM|

2.2. Projection sur l’hyperplan :

M'' est l'image de M' par projection sur l'hyperplan P par S.
M'' : SM'' = ( 2 / (Tp + 2 - Tm') ) SM'

C'est une méthode extrêmement coûteuse en calcul car elle doit être reproduite pour chaque point, mais elle fonctionne.


Le problème (et c'est là que j'ai besoin de vous) :

Le problème c'est d'optimiser la manière de faire pour obtenir un algorithme performant.
(Qui affiche plus d'une image par heure.)

Comment résoudre le problème :

Soit deux points A et B de l'espace 4D.
Ils décrivent un segment.

La projection de ce segment est-elle bien un arc de cercle ?
Si oui, comment définir cet arc avec le moins de données possibles ?
(Exemple : A'', B'', Oab (le centre du cercle), u (un vecteur unitaire qui indiquerait dans quel sens tracer l'arc de cercle) )
Comment obtenir ces données en faisant le moins de calculs possible ?

De même pour un plan, la projection est-elle bien un morceau de sphère délimité par des arcs de cercles ?
Mêmes questions que plus haut.

Et pour un Cercle, un arc de cercle ?

Et pour un tracé quelconque (de dimension 2) dont on possède l'équation ?

Et pour une surface quelconque dont on possède aussi l'équation ?

Voilà, merci d'avoir lu

J'ai pas trop le temps de répondre, cependant je souhaiterais commencer par un conseil :

Pour optimiser l'algorithme, optimise-le pour projeter la 3D sur un plan 2D. Les formules types SM'' = ( 2 / (Tp + 2 - Tm') ) SM'
doivent être améliorables. (Je pencherai dessus plus tard. Je suis pour l'instant à fond sur une histoire de projection (oui, encore une) d'un monde D sur de la 2D pour créer des jeux 3D.)

Pour passer de la 4D à la 3D, il faudra juste ajouter une dimension, ce qui d'un point de vue pratique impose que l'algorithme performant en 4D se doit déjà de l'être pour la 3D.

En revanche, le fait qu'une droite en 4D soit projeté sur un arc de cercle demande à être démontré. Pas sûr. Le théorème de Thalès, nécessaire ici, et celui de pythagore, sont vrais dans toutes les dimensions. Je dirais donc à priori oui.

Merci pour ta réponse, je vais essayer