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Matrix.

Message  Yoendel le 30.01.13 23:17

Bon... le sujet des jours à venir sera ... les Matrices.

Que sont-elles ? à quoi servent-elles ? Quelles sont leurs règles ? Leurs propriétés ?

Tout d'abord, les idées des gens...
C'est de là qu'il faut partir...

Souvent, si on demande à quelqu'un ce qu'est une matrice, il donne deux réponses au choix...
1) "Je sais pas du tout" (parfois agrémenté de la sauce " et je m'en fous")
2) ça doit probablement ressembler à ça :


Il est une chose intéressante dans le film "Matrix" qui motive la seconde réponse.
Qu'est la Matrice dont parle le film ?


D'après la définition rigoureuse d'une matrice (sens maths, info, etc...) "les matrices sont des tableaux de nombres" ... (Wiki)
Cela n'a rien d'extraordinaire.
Je disais à Powi... cela peut même s'annoncer décevant.

Cependant... il est doux de rêver.
Revenons donc rêver auprès du film "Matrix".
Je réitère ma question... qu'est-ce que la Matrice ?

Est-ce:
1) un tableau de nombre ?
2) un programme ?
3) ...

Si vous me dites que c'est un programme, alors j'aimerais que l'on m'explique... cela :

Dites-moi... est-ce un programme, ça ? Ou un simple tableau de nombre ?


En réfléchissant un peu, vous vous rendrez compte que malgré toutes les réponses que vous pouvez donner... vous retombez sur le tableau de nombres.
Car... qu'est ce qu'un programme ? Un ensemble d'instructions agencées...
Que sont ses instructions ? Un ensemble de commandes... elles même formées d'opérations de bases qui sont stockées sous la forme de ... nombres.
Pour votre machine, un programme n'est que la traduction de nombres. Vous croyez voir un langage cohérent... car vous interprétez les instructions données par un autre humain qui parle à priori le même langage (pas la même langue !) oral ou visuel, et pour qui un chat est un chat...

Vous voyez où je veux en venir ?
Une matrice n'est QU'un tableau de nombres.
Mais par analogie au film :
Neo : Je n'avais juste jamais ...
Rama-Kandra: Entendu un programme parler d'amour ?
Neo: C'est une émotion humaine
Rama-Kandra: Non c'est un mot. ce qui importe c'est l'interaction que ce mot implique.

Eh bien...Une matrice... ce n'est qu'un tableau de nombres... mais ce qui compte c'est ce qu'il représente pour nous.
Je vous ai caché une chose, en vous citant Wikipédia : la suite :
les matrices sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices.
Nous verrons, si j'arrive jusque là, que la matrice peut représenter des applications vectorielles , de changements de référentiels, des lois, des propriétés de l'espace... oui. On peut donner un sens à un ESPACE sous forme de matrice(s).
Après tout... des phénomènes linéaires ou presque linéaires, il y en a tout autour de nous !

Mais revenons un peu au début, voulez-vous ?
Ne brulons pas les étapes.

Je voulais vous mettre un peu l'eau à la bouche, mais pour pouvoir vous en dire plus, je suis désolé de devoir revenir à la définition brutale et méchante.

Quelqu'un veut prendre la suite ou je m'en charge ? :mrgreen:


Dernière édition par Yoendel le 01.02.13 23:30, édité 1 fois

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Re: Matrix.

Message  FirePowi le 31.01.13 8:18

Merci Yoendel, pour ce cours !

Yoendel a écrit:Bon... le sujet des jours à venir seront ... les Matrices.

Eh bien...Une matrice... ce n'est qu'un tableau de nombres... mais ce qui compte c'est ce qu'il représente pour nous.
Je vous ai caché une chose, en vous citant Wikipédia : la suite :
les matrices sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices.

L'algebre linéaire ou bilinéaire ?
En fait, le seul mot que je pourrais vraiment définir dans la question, c'est le "ou", je connais l'algebre de boole, et d'autres algebres, mais en fait, je ne sais pas ce qu'est un algebre. et je ne sais pas non plus ce qu'est l'algebre linéaire ou bilinéaire.

Enfin, merci de m'éclairer. *sourire*

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Re: Matrix.

Message  Bacrima le 31.01.13 11:57


L'algebre linéaire ou bilinéaire ?

Je ne me souviens plus de mes cours de prépa, mais en gros c'est quand les variables ne se multiplies pas entre-elles. ... j'aurais mieux fais de me taire.

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Re: Matrix.

Message  ><( )>< le 31.01.13 18:39

Ben...L'algèbre. Ca peut être deux choses: une structure algébrique (vous allez me dire, ça n'avance pas à grande chose de savoir ça...une algèbre dans l'algèbre, mais où va t-on ????)

Ou........"L'algèbre, de l'arabe al-jabr (الجبر) qui signifie « réduction d'une fracture », « restauration », est la branche des mathématiques qui étudie les opérations et équations sur les nombres et plus généralement les structures algébriques." Merci Wikipédia.

L'algèbre, je dirais que c'est l'étude des relations entre les éléments d'un ensemble. Est ce qu'on peut les ajouter, les multiplier, est ce que les éléments ont des inverses, etc.
Et c'est très important !

On parle de STRUCTURE ALGEBRIQUE pour désigner un ensemble, dans lequel on a le droit à certaines choses, de la plus simple (additionner) à la plus compliquée: diviser, faire le produit scalaire/vectoriel...

Pour les structures algébriques: Ici (rubrique "structures algébriques, menu à droite)

On parle d'algèbre linéaire (celle qui est utilisée partout...) quand on s’intéresse à des choses du type: A=B*x.

Tu vois la fonction linéaire ? f: x |-> ax. Ben, imagines que tu travailles ailleurs. Avec des trucs qui ne sont pas des nombres réels...par exemple, que X soit un vecteur. Ben c'est un problème linéaire...

De manière générale, une application linéaire est une application, de E dans F, qui vérifie;
pour tout a, b, dans E, f(a+b)=f(a)+f(b),
et si m est un nombre, (en fait un scalaire, mais ...c'est compliqué) f(ma)=mf(a).

Un exemple. x|->2x, dans |R
2(a+b)=2a+2b.
2(ma)= 2ma= m2a. C'est bien linéaire.
Le rapport avec notre algèbre ?

Ben, c'est que l'algèbre linéaire est le domaine des maths qui étudie les équations linéaires.

Et l'objet type de ce domaine est la matrice, qu'on utilise en tant que représentation des systèmes d'équations, entre autres.

Pour l'algèbre bilinéaire, on utilise des applications bilinéaires, c'est à dire, linéaires par rapport à chacune des variables. Mais c'est plus compliqué et moins utilisé.


J'ai vu que tu devais avoir un cours d'algèbre linéaire en principe, dans ton cursus. Tu reverras sans doute ça, et tu utiliseras des matrices. Ça sera plus clair à ce moment là...


En attendant, si tu as des questions, en MP ! Parce qu'on pollue le beau sujet de Yoendel...et que les autres le savent déjà.

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Re: Matrix.

Message  Yoendel le 31.01.13 19:56

Ah, mince !! Meko a déjà répondu !! Tant pis, je mets ça en spoil... ça servira à compléter...

Spoiler:
Bac >> :mrgreen: Non. Te taire t'aurais peut-être fait paraitre moins stupide, mais n'aurait eu pour conséquence que de fermer encore plus la discussion. Tu as tenté une réponse, et c'est déjà bien.

Hm... cependant, je dois admettre que tu t'es trompé. :mrgreen:

Spoiler:
Contrexemple : L'ensemble des nombres réels, avec la loi d'addition, la loi de multiplication que vous connaissez... forment une algèbre.
Une R-algèbre.
Or, dans la loi de multiplication, il y a "multiplication de deux variables entre elles".

Mais ce n'est pas grave. ça arrive, de se tromper.

Reprenons.
Il y a plusieurs définitions du mot algèbre.

L'algèbre est le domaine des mathématiques qui étudie les lois entre et à l'intérieur des ensembles.
Somme, multiplication (dite interne), multiplication (dite externe), produit vectoriel, scalaire, ... sont des termes de l'algèbre.
L'étude des espaces vectoriels, des matrices... peut aussi en relever.
L'algèbre de Boole relève du domaine de l'algèbre ("NOOOOOON ! Sérieux !!" Shocked me direz-vous), puisqu'elle étudie un ensemble de 2 nombres avec les lois de multiplication et d'addition que les informaticiens connaissent...

Mais au delà du domaine...
Une algèbre est aussi un "objet" mathématique en soi : c'est quasiment la plus lourde structure des mathématiques.
On a en algèbre (le domaine) des objets dont certains ne vous diront rien, tels que - par ordre de complexité !- : les monoïdes, les groupes (groupe de Poincaré, de Lie, de Lorentz... y en a à la pelle.), les anneaux, les espaces vectoriels et les corps. Ainsi que les algèbres.

Parenthèse sans aucun lien (ou presque) :
Spoiler:
Saviez-vous que la jauge de Lorenz est invariante par transformation de Lorentz ?
Et le premier qui me dit "ben oui, logique !!" est prié de cliquer sur les deux occurrences du nom ! :mrgreen:

Je vous épargne les détails des règles des algèbres...

Bon... chargeons-nous maintenant de l'autre mot... linéaire !
Proportionnel, ça vous dit quelque chose ? Représenté sur un graphique par une droite passant par 0 ?
Eh bien le sens du mot linéaire est lié.

prenez une machine (fonction f ) qui vous prend un nombre (ou autre chose) nommé x et vous ressort... autre chose.
On dit que la machine est linéaire si remplacer x par 2*x (ou 3*x, Pi*x) ne fait que multiplier par 2 (respectivement 3 et Pi) ce qu'elle vous ressort
ET si le fait de lui donner un nombre x puis un nombre y donne le même résultat que lui donner les deux d'un coup !

Ex : imaginez Un Distributeur de boissons.
Vous lui mettez une pièce de 0.50 euro, elle vous donne une bouteille d'eau. Vous lui mettez 1 euros, elle vous donne 2 bouteilles...
J'ai f(0.5 euro) = 1 bouteille.
f(1 euros) = 2 bouteilles...
f(n euros) = 2*n bouteilles...
f(Pi euros) = ... Bon, n'essayez pas de mettre Pi euros dans un distributeur, les enfants !

Imaginez de plus que si vous mettez un coup de pied dans le même distributeur, il vous donne une canette.
Deux coups de pieds, deux canettes ; n coups de pieds, n canettes ; Pi coups de pieds... et le distributeur est cassé. :mrgreen:

Maintenant, pour vérifier que ce distributeur est linéaire il suffit de montrer que si vous donnez un certain nombre de pièces N et un certain nombre de coups de pieds P en même temps, vous obtiendrez la même chose que si vous mettez P coups de pieds puis N pièces !
en math : f(N+P) = f(P)+ f(N).

Résumé : linéarité : f(x+y) = f(x) + f(y) et f (k*x) = k*f(x) (attention, k peut ne pas être entier...)

Eh bien, l'algèbre linéaire est le domaine qui s'occupe des espaces vectoriels, c'est à dire les espaces qui sont remplis de pièces, de coups de pieds et pour lesquels on peut utiliser tous les distributeurs du genre de celui que je viens de présenter !
Mais attention... je viens de considérer que les pièces, les coups de pieds, les canettes et les bouteilles appartiennent au même monde...
Un distributeur qui à n coups de pieds de votre part vous ressort K*n coups de pieds... est aussi linéaire...

Eh oui... Vous verrez vos pauses café différemment désormais ! :mrgreen:




En attendant, si tu as des questions, en MP ! Parce qu'on pollue le beau sujet de Yoendel...et que les autres le savent déjà.

En MP, pourquoi pas ?
CEPENDANT "les autres le savent déjà" est une absurdité... :mrgreen:
Donc comme j'avais envisagé de devoir parler des espaces vectoriels à un moment ou à un autre, je ne vois pas ça comme une pollution.
ça peut même aider, qu'il connaisse un minimum sur les espaces vectoriels, non ?

même si, oui, je ne reviendrai dessus qu'après avoir défini clairement les matrices... Very Happy

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Re: Matrix.

Message  ><( )>< le 03.02.13 11:54

Yoendel a écrit:En MP, pourquoi pas ?

Le MP s'est transformé en SMS ^^ enfin, en PLUSIEURS SMS.

Vrai, que parfois la question aurait pu être posée par plusieurs lecteurs, et en ce cas, ça vaut le coup. Mais le sujet perd en lisibilité, au fur et à mesure des digressions ("gressions"). L'idéal serait d'éditer au fur et à mesure, pour remettre tout dans l'ordre....

Là, ce qui lui manquait était un """""détail""""" technique, qui était long, donc qui aurait fait une grosse parenthèse, et dont les autres lecteurs - Bac et toi, a priori, n'avaient pas besoin.

Puis, le MP permet de donner des réponses détaillées et personnalisées. Ce qui est un avantage notoire.


A priori, Powi est maintenant incollable sur les structures algébriques. Tu peux donc poursuivre^^


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Re: Matrix.

Message  Yoendel le 03.02.13 15:05

Oh !! Incollable ? c'est fortiche, ça... :mrgreen:

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"eux veulent me forcer à parler pour ne rien dire, alors je ne dis rien pour parler."
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Re: Matrix.

Message  Yoendel le 12.02.13 18:18

Bon... je m'en charge, donc.

Je vais donc vous présenter une matrice :
1)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Une autre :
2)
1 2
4 8
-2 -4
0 0
Encore une autre :
3)
   1
-rac(2)
   Pi
Mais encore :
4)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ou bien :
5)
cos (wt) -sin (wt)
sin (wt) cos (wt)
Ou alors :
6)
bêta -gamma 0 0
-gamma bêta 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Ou encore...
7)
1+i -i
3i 1-i
voire :
8 )
1
Puis :
9)
0 -1
1 0
et
10)
0 1 0
0 0 1
1 0 0
...

Ceci peut vous donner une idée de ce qu'est une matrice.

Nous disions donc : Une matrice est un tableau de n lignes par p colonnes, emplie de nombres.
Jusque là tout est limpide.
Maintenant, que sont ces nombres ?
Revenez aux exemples cités...
Vous verrez qu'ils peuvent être des entiers, naturels ou relatifs (1 ; -1; -3 etc...), des réels (on a Pi et racine(2)), des nombres complexes...


Dernière édition par Yoendel le 20.03.14 18:54, édité 1 fois

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"eux veulent me forcer à parler pour ne rien dire, alors je ne dis rien pour parler."
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Re: Matrix.

Message  Yoendel le 21.02.13 1:01

Bon, vis-à-vis des matrices je suis pris d'une flémingite aiguë. Je vous renvoie donc là :

http://forum.viedemerde.fr/sujet-11685-science-le-merveilleux-pays-des-sciences?&p=14

J'espère que vous y avez accès.

Pour la flémingite, je plaisante.
En revanche, je souhaitais à la fois vous donner une explication plus claire que tout ce que je pourrais dire (et plus succincte pour autant), tout en valorisant le travail d'un ami.
Son topic est passionnant.

Je vous le conseille : c'est par là : http://forum.viedemerde.fr/message-3538497-science-le-merveilleux-pays-des-sciences#p3538497

Ne fuyez pas le début, ce n'est- qu'un index pour aider ceux qui font des recherches précises, mais vous pourrez trouver au milieu de tout ça la Pi-song et tous ces trucs là. C'est passionnant et écrit en grande partie par un passionné. :mrgreen:

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Parenthèse

Message  Yoendel le 21.03.14 18:14

Parenthèse : j'ai un petit exercice (voyez le comme un jeu) pour ceux qui connaitraient un peu les matrices.

On va prendre une matrice 2x2, c'est à dire un tableau avec 4 nombres de cette forme là :



a d
b c


Avec a, b, c et d des nombres quelconques.

Cependant, je vais choisir une matrice quelque peu spéciale, puisque j'ai envie de prendre b=d et même de remplacer ces deux là par b/2.
Ce qui donnera la matrice suivante :

a b/2
b/2 c

Cette matrice n'a rien d'extraordinaire, n'est-ce pas ?

Bah en fait, je ne l'ai pas choisie pour le fun.
Elle est en réalité la matrice qui représente une forme bilinéaire, une application avec des " ²  ".

Elle représente l'application suivante :

je prends x et y, et à ces deux nombres j'associe le nombre noté phi(x,y) = a.x² + b.x.y + c.y².

Comment la matrice représente ce truc là ?
Bah c'est simple. C'est un tableau qui vous montre ce que vous obtenez si vous croisez x avec x, y avec y et x avec y, comme une recette de cuisine.
si vous croisez x avec x (première case en haut à gauche), vous savez que phi met un "a" devant le terme en x².
Si vous croisez x avec y (case en bas à droite), vous savez que phi met un "c" devant le terme en y².
Pour le terme en x.y, nommé terme croisé, c'est plus compliqué, puisqu'il y a deux moyens de l'obtenir : par x.y et par y.x. Alors on partage les contributions en deux, d'où le fait que j'aie mis b/2 dans chacune des 2 cases restantes.


Là, vous ne voyez pas pourquoi je parle de tout ça...
Dans ce cas, posez y=1. Vous allez reconnaitre tout de suite ... les polynômes de degré deux !!

phi (x, 1) = a.x² + b.x + c

Et quand on a un polynôme de degré deux, il y a une chose que l'on calcule.

Un nombre réputé, connu sous le nom de "discriminant" :

Discriminant (phi) = b² - 4.a.c

Eh bien moi, j'aimerais vous faire calculer un autre nombre.
Pour les polynômes, le nombre qui a la côte, et qui en donne toutes les propriétés, c'est le discriminant.
Pour les matrices, le nombre qui a la côte et qui en donne plein de propriétés, c'est... le déterminant.

Je ne vais pas vous faire un cours sur le déterminant des matrices, cependant je vais vous donner, pour une matrice 2 x 2, sa formule.

si la matrice est

a d
b c

Alors son déterminant est : det = a.c - b.d.

Maintenant, calculez le déterminant de la matrice :
a b/2
b/2 c

... et dites-moi ce que vous remarquez !!

Solution:
Solution : det (matrice associée au polynôme) = a.c - (b/2).(b/2) = a.c - b² /4.

étrange, non ? si vous multipliez par 4 et que vous inversez les signes... vous trouvez que :
discriminant du polynôme = - 4 * déterminant de la matrice.

Qui l'eut cru ?
Personne.

Mais en fait, cela montre que les deux objets sont extrêmement liés.
Calculer un discriminant, c'est pareil que calculer un déterminant, pour une matrice 2x2.

Fin de parenthèse.

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Re: Matrix.

Message  Bacrima le 07.05.14 15:00

Sympa ce petit parallèle Smile

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