angle du CH4 ?

Bacrima devrait retrouver dans ce post un petit goût de déjà entendu...


J'explique la problématique. On vous donne une molécule de méthane, composée de quatre atomes d'hydrogène entourant un atome de carbone, en formant un tétraèdre régulier dont ce dernier est le centre. La question étant : quel est l'angle formé par 2 hydrogènes et un carbone ? (angle H-C-H)




Bien entendu, le but est d'obtenir une valeur exacte de cet angle, et non pas se contenter du 109° approché que nous donne la figure...



1) Pour les collégiens, et jeunes lycéens( les pauvres... ) une méthode consiste à utiliser le théorème de Pythagore un certain nombre de fois, mais je ne la conseille pas du tout car elle est longue, fastidieuse, et donne une horreur en résultat.

2) pour ceux qui ont vu les repères plus en détails, ou mieux encore les espaces vectoriels de dimension 2 et 3, je conseille de travailler avec le produit scalaire... cependant, il vous faut les coordonnées de chaque point dans ce repère... Pythagore est encore requis... aïe...

Je tiens à souligner que quoi que l'on fasse, Pythagore est requis. Mais trop de fois, c'est tout simplement intolérable... essayez donc ces deux méthodes vous même en vous mettant à la place d'un collégien ou d'un lycéen, et... pleurez bien.



La méthode que je m'apprête à utiliser peut faire peur. Elle peut choquer... vous paraître une extraordinaire découverte ou un funeste présage, mais elle a ses mérites. Nécessitant certes un niveau de connaissance plus élevé, elle est très simple en calculs...

problème : elle requiert d'étudier en dimension 4. Mais, pas d'inquiétude, aucune connaissance poussée de la dimension 4 n'est nécessaire...
elle nécessite question calculs :



1) le théorème de Pythagore... en dimension 4, dans une base orthonormée (on travail en vecteur, donc on a seulement besoin d'une base !), c'est tout simplement pour tout vecteur a=(x,y,z,t) : norme(a)² = x²+y²+z²+t²
pareil que le théorème de Pythagore collégien, mais en parlant vecteur... (c'est pas la mer à boire, on peut se ramener à deux points si on veut !) et en ajoutant une coordonnée de plus d=que ce qu'on fait généralement en terminale.

2) l'utilisation du produit scalaire usuel (celui qu'en terminal on appelle produit scalaire, celui que l'on croit seul et unique...quelle naïveté...)
une de ses formules est : pour les vecteurs a=(x₁, y₁, z₁, t₁ ) et b=(x₂, y₂, z₂, t₂ )

(a|b) = x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂+t₁*t₂
(lire a scalaire b)

une autre formule est requise : c'est elle qui va nous apporter la solution... on note ||a|| la norme du vecteur a. (pour la trouver, utilisez la (1) )
idem pour b. On note aussi alpha l'angle entre les deux vecteurs a et b.
alors on a (a|b) = ||a||*||b||*cos(alpha)

(attention !!! pour les matheux : dans l'espace, le concept d'angle n'a aucun sens... déjà parce que l'orientation est perdue... en fait on se ramène toujours à l'étude d'un angle dans un plan. ici, celui formé par les points H1,O,H2)

3) les barycentres. Concept de niveau lycée, on sait que l'isobarycentre (ou centre de gravité pour les physiciens) de n points a pour coordonnée dans un repère la moyenne des coordonées de ces points. En dimension 4, rien de nouveau sous le soleil à ce niveau.


avec ces trois outils (simples), on est paré...











commençons par un voyage dimensionnel.
Pour votre compréhension, je vais faire un détour et ne pas me préoccuper du tétraèdre pour l'instant.
Mais du triangle équilatéral...

Vous verrez, la méthode est la même...

Prenons un triangle équilatéral, et cherchons l'angle formé par le centre G et deux sommets H1 et H2. tout le monde pourra répondre
rapidement que cet angle est de 120° ... mais je m'en fiche. Le but est de vous montrer une méthode de façon à ce que vous la compreniez, et puissiez l'extrapoler pour notre tétraèdre...

plaçons nous alors en dimension 3, et prenons une base orthonormée... (vecteurs orthogonaux deux à deux et chacun de norme=1)
J'ai pris le produit scalaire usuel, donc je prendrai la base usuelle, dans laquelle les vecteurs sont : (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1)
nous fichant de la taille du triangle équilatéral, et de "là ou il est", (on veut un angle et tous les triangles équilatéraux ont les mêmes angles) on va étudier un triangle particulier, celui dont les coordonnées sont (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) !!

c'est bien un triangle équilatéral : le théorème de Pythagore le montre...




on place alors son centre de gravité G :


G a pour coordonnées :
* sur x : (1+0+0)/3 = 1/3
* sur y : (0+1+0)/3 = 1/3
* sur z : (0+0+1)/3 = 1/3

donc étudions les vecteurs GA, et GC( en gras pour dire vecteur)




(GA) = (1-1/3, 0-1/3, 0-1/3) = (2/3, -1/3, -1/3)
(GC) = (0-1/3, 0-1/3, 1-1/3) = (-1/3, -1/3, 2/3)

D'où (GA|GC) = 2/3*(-1/3) + (-1/3)*(-1/3) + (2/3)*(-1/3) = -2/9 + 1/9 - 2/9 = -1/3

et ||GA||² = (2/3)² + (-1/3)² + (-1/3)² = 4/9 + 1/9 + 1/9 = 6/9 = 2/3
de même ||GC||² = 2/3

notre formule du produit scalaire nous donne alors (GA|GC) = ||GA|| * ||GC|| * cos (alpha recherché)

on a donc (-1/3) = racine (2/3) * racine (2/3) * cos (alpha)

soit -1/3 = 2/3 * cos (alpha)






cos (alpha )= -1/2
alpha = 2Pi / 3 ou -2Pi/3 (dans l'espace c'est la même chose au signe près... or on n'a rien orienté !!)



Maintenant, à vous de jouer !

Pour le tétraèdre c'est exactement la même chose, et le calcul n'est pas plus long !!

Cependant, vous obtiendrez un résultat en cos^-1... mais c'est pas normal.
Bonne chance !

oups, correction : "mais c'est pas normal " . Si, au contraire; j'ai mélangé "ce n'est pas grave" et "c'est normal"...^^

Je donnerai un corrigé de la méthode pour le tétraèdre si besoin est.

Il faut penser pareil : on s'est mis à étudier le triangle (plan) dans un espace 3d, où tout est simple.

faites donc de même avec le tétraèdre dans un espace 4d...
Si vous appliquez à la lettre de la même façon que ce que j'ai fait, avec les 3 outils que j'ai cités, tout sera simple...

Je me suis bien amusé .
Je l'ai même fais dans un cas général, pour un simplexe de dimension n plongé dans un espace de dimension n+1.
Sans entrer dans les détails pour ne pas gâcher la surprise, je donne juste mon résultat :

alpha = arccos (-1/n)

Donc pour le tétraèdre (simplexe de dimension 3) on a alpha = arccos(-1/3) ~= 109°