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eh ouais, encore une !!!

Message  Yoendel le 02.04.12 22:58

Eh oui, la saison mathématique est loin d'avoir pris fin !! Car c'est aujourd'hui un retour avec...

LES COLONNES DE GERGONNE : Dualité, controverse et paradoxe.

Par E. Giroux.

J'ai découvert un concept plus large encore que ce l'on a vu en cours !!
Et je n'en ai que mieux compris celui-ci...


La dualité en maths est un concept particulièrement recherché...
ou comment faire 2 théorèmes puissants en un...

_____________________
"On ne voit bien qu'avec le cœur: l'essentiel est invisible pour les yeux." le renard, A de St Exupéry.
"Qu'est-ce que signifie «apprivoiser»? dit le Petit prince.
-C'est une chose trop oubliée, dit le renard. Ca signifie «créer des liens...»"
http://www3.sympatico.ca/gaston.ringuelet/lepetitprince/chapitre21.html
"eux veulent me forcer à parler pour ne rien dire, alors je ne dis rien pour parler."
"Il ne faut pas mettre les gens dans des petites cases ; c'est un signe de confusion mentale, mon chou !" les Chants de la Mallorée
"Point de monde sans hasard... point de hasard sans monde... la boucle est bouclée" Alexandra.
"et si notre monde avait 3 coordonnées temporelles pour une spatiale ?"
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Re: eh ouais, encore une !!!

Message  Bacrima le 02.04.12 23:47

Un peu comme de la lessive ?

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Re: eh ouais, encore une !!!

Message  Yoendel le 03.04.12 12:43

ouais, mais en mieux... Laughing Laughing Laughing

Les théorèmes, c'est pas cher, efficaces, réutilisables durant des siècles et en plus ça donne un goût de fraîcheur à vos démonstrations...
Vous avez l'air débile en sortant d' un colloque de mathématiques? Vos études industrielles sonnent comme une arnaque auprès de vos collègues ? votre crédibilité est des plus basse au sein d'un groupe d'individus autre que des babouins ? Ne cherchez plus, les théorèmes sont faits pour vous...
Jusqu'à 50h de cours pour seulement 2 DS et 3 DM par trimestre* ... n'hésitez plus... "avec les théorèmes, plus de problème !!"

*hors colles, retenues, examens, concours et autres formalités. Pour plus de détails, contactez l'éducation nationale...

Enfin bref... Laughing Laughing

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Re: eh ouais, encore une !!!

Message  Bacrima le 03.04.12 15:23

Very Happy Very Happy Very Happy Very Happy Very Happy
Excellent ! Tu veux faire de la pub plus tard ?

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Re: eh ouais, encore une !!!

Message  Yoendel le 03.04.12 16:29

heu... non !!! Very Happy Very Happy

Je cherche juste à faire l'éloge de ces beaux théorèmes...
Bon. Revenons à nos duaux...

exemples
définitions et incontournables




E. Giroux nous a été introduit comme étant ( en plus de professeur lié à l'ENS de Lyon et au CNRS) un géomètre, et plus particulièrement spécialisé dans la géométrie de contact.
Mais qu'est ce que la géométrie de contact, me direz-vous ? pour cela, wikipédia est votre ami... ou votre ennemi.
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_de_contact
http://fr.wikipedia.org/wiki/Contact_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29

Bon. Si l'une de ces deux pages vous semble être compréhensible, tant mieux pour vous.
Sinon, je répondrai que c'est normal.
Il me faut alors vous donner l'idée générale :

L'idée de base de la géométrie de contact est d'étudier les courbes tangentes ( Au sens général) .
vous prenez une courbe, et vous regardez si une autre courbe "vient se coller" à la première...
cette autre courbe peut être une droite (les tangentes classiques) ou une parabole, un cercle...
Si elle vient "bien" se coller à la première, on parle alors de tangente.
Cherchez donc des images de cercles "osculateurs" pour vous aider...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_osculateur


Voilà pour la géométrie de contact. Pas besoin d'en savoir plus pour juste se faire une idée...






Aux alentours de 1830, émerge le concept de dualité en mathématiques.
E.G. se propose de nous expliquer la controverse entre Poncelet et Gergonne, qui a mené à un paradoxe résolu par Plücker.

Il commence alors par nous expliquer ce qu'est la dualité dans le langage courant :
- 2 aspects d'une même chose.
- le jeu de miroir qu'il y a entre ces deux aspects.

En maths, c'est pareil.
Il y a deux possibilités pour décrire un ensemble.
mettons par exemple un groupe de personnes : caractériser l'appartenance :
- lister les noms des gens inclus dans le groupe : Marcel, Jordan et Katty Duchmol.
- lister leurs caractéristiques, les conditions d'appartenance : ont les yeux bleus, telle séquence ADN, etc... (javoue que ça fait beaucoup à préciser...)


Ici, on appliquera ces méthodes aux courbes "planes".

exemples :
la parabole : http://fr.wikipedia.org/wiki/Parabole
l'ellipse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_%28math%C3%A9matiques%29
l'hyperbole : http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole_%28math%C3%A9matiques%29


mais encore :

la parabole semi-cubique : http://www.mathcurve.com/courbes2d/parabolesemicubic/parabolesemicubic.shtml
(dont on remarque un
point singulier, étrange, dit point de rebroussement)

le lemniscate ( qui admet un point dit "double") : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemniscate

et la queue d'aronde qui contient 2 points de rebroussement et un point double... :
bon, j'ai trouvé une version surfacique... regardez juste la coupe et vous aurez la version plane...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,426143,426956,quote=1




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Message  Yoendel le 02.05.12 21:51

Bon... je continue...


Au collège/lycée, on nous fait étudier ce type de courbe ...



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Re: eh ouais, encore une !!!

Message  Yoendel le 02.05.12 22:03

(si vous ne la voyez pas, faites moi signe... moi je la vois pas, mais je sais que c'est dû au lycée)


cette courbe, définie par y= 2x² - x4, n'a qu'un point d'intersection avec une droite verticale... à chaque point x, on associe un seul y.
On parle alors de graphe

Puis on étudie des courbes paramétrées :

ex : une ellipse :

x = 2 cos(t)
y = sin(t)


de même pour la lemniscate :

x= (t+t3)/(1+t4)
y= (t-t3)/(1+t4)



Jusque là c'est des courbes que l'on a peu ou prou l'habitude d'utiliser...

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Message  Yoendel le 02.05.12 22:22

MAIS IL EXISTE ENCORE D'AUTRE TYPES DE COURBES !!

Et certains me diront... les courbes de type "polaire" (attention à ce terme, il revêt en réalité un autre sens) : rayon = fonction (angle thêta)

CEPENDANT, ces courbes peuvent être ramenées par simple trigonométrie à des courbes de type paramétrées.

Pour exemple de ce que peut-être cet autre type de courbe :



http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/jpg/Caustique_cercle.jpg



Je vous présente... la néphroïde !!

Et la façon dont elle est construite sur ces images, c'est simplement en regardant la courbe tracée par pleins de traits...
Lorsqu'il s'agit de rayons lumineux sur une tasse, ça peut donner ça :

La courbe est tout simplement "enveloppée" par ses rayons lumineux, qui en sont des tangentes.

On définit alors ce type de courbes : on les nomme enveloppées.

c'est une courbe définie par ses tangentes !!



Jusque là, on avait étudié des courbes dites algébriques :
elles pouvaient toutes être définies par une équation algébrique, du type par exemple y4+3y²-y+x3-5x²+1=0

autre exemple : x²+y² = 1 ... reconnaissez-vous le cercle unité ?

ou encore : la lemniscate, dont on a donné tout à l'heure l'équation paramétrée : (x²+y²)²=x²-y².
exercice : retrouver cette équation à partir de l'équation paramétrée !



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